Selasa, 10 Februari 2015

Bab Perbandingan

A. Pengertian Perbandingan

Perbandingan adalah 2 angka atau lebih yang saling di bagi, contohnya adalah ¾ bisa disebut juga dengan 3 : 4, itulah pengertian simple dari perbandingan (sebenarnya SD kelas 4 saja sudah bisa)

B. Perbandingan Senilai

1. Pengertian Perbandingan Senilai

Perbandingan senialai atau seharga adalah perbandingan yang nilainya sama atau harganya sama

Contoh: banyak orang di rumah A 12 orang dan di rumah B 20 orang, berarti perbandingannya adalah 12/20 sederhananya 3/5 atau 12 : 20 sederhananya 3 : 5

2. Melakukan Perhitungan Perbandingan Senilai

Contoh: harga 5 buah baju seharga Rp10.000,-. Berapakah harga 10 buah baju jika:

a. Dengan perhitungan berdasarkan satuan

b. Perhitungan berdasarkan perbandingan

Jawab:

a. Harga 5 buah baju = Rp10.000,-

Harga 1 buah baju = Rp10.000,- / 5

= Rp2.000,-

Harga 10 buah baju = 10 . Rp2.000,-

= Rp20.000,-

b. Banyak baju = 5 dengan harga Rp10.000,-

Harga 1 buah baju = Rp10.000,- / 5

= Rp2.000,-

Jika 10 buah maka = .... ?

10 buah baju = 10 / 5 . Rp10.000,-

= Rp20.000,-

3. Menggunakan Perbandingan Senilai Untuk Soal Peta

a. Pengertian contoh 1 : 10.000 maka artinya setiap 1 cm pada peta berarti jarak sebenarnya adalah 10.000 cm

b. Skala adalah perbandingan jarak pada peta terhadap jarak sebenarnya dan bisa diketahui dengan rumus sebagai berikut

· Skala = Jarak Pada Peta / Jarak Sebenarnya

· Jarak Pada Peta = Skala . Jarak Sebenarnya

· Jarak Sebenarnya = Jarak Pada Peta / Skala

C. Perbandingan Berbalik Nilai

1. Pengertian Perbandingan Berbalik Nilai

Pengertian Perbandingan Berbalik Nilai adalah suatu perbandingan yang satu merupakan kebalikan dari perbandingan yang lain

2. Perhitungan Perbandingan Berbalik Nilai

Contoh seorang peternak mempunyai persediaan makanan untuk 40 ekor ayam selama 20 hari, jika peternak itu menjual 20 ekor ayam, berapa hari persediaan makanan itu akan habis?

Jawab:

40 ekor ayam selama 20 hari dan (40 – 20) = 20 ekor ayang selama y hari, hal ini dapat diselesaikan sebagai berikut:

40 . 20 = 20 . y

800 = 20 . y (mula-mula di kali sekarang kita balik menjadi dibagi)

y = 800 / 20

y = 40

Jadi uantuk 20 ekor ayam, persediaan makanan akan habis selama 40 hari

Bab Bilangan Bulat

BAB V

Bilangan Bulat

2. Membaca bilangan bulat

Contoh: 5 dibaca lima

-5 dibaca negatif 5

3. Pada garis bilangan semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar.

4. Jika diagram panah menuju ke kanan, menunjukkan bilangan bulat positif. Jika diagram panah menuju ke kiri, menunjukkan bilangan bulat negatif.

Contoh:

Diagram panah dari 0 ke 3 menunjukkan bilangan 3.

Diagram panah dari 3 ke -1 menunjukkan bilangan -4.

Hasilnya ditunjukkan diagram panah dari 0 ke -1.

Jadi, 3 + (-4) = -1

5. Penjumlahan dengan bilangan negatif dapat dilakukan dengan pengurangan dari lawan bilangan negatif tersebut.

Contoh: 52 + (-4) = 52 – 4 = 48.

6. Bilangan-bilangan bulat di sebelah kiri titik nol saling berlawanan dengan bilangan di sebelah kanan titik nol yang berjarak sama.

Contoh:

Lawan dari 3 adalah -3

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

Enumerasi

dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:

A = {a, i, u, e, o}

Simbol baku

dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:

P adalah himpunan bilangan bulat positif Z adalah himpunan bilangan bulat R adalah himpunan bilangan riil C adalah himpunan bilangan komplek

Notasi pembentuk himpunan

dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh :

A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

Diagram Venn

menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Notasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	$S$
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	$a$
Kelas	Huruf tulisan tangan	$\mathcal{C}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{C}$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
$\{ \}$ atau $\varnothing$	Himpunan kosong
$\cup$	Operasi gabungan dua himpunan
$\cap$	Operasi irisan dua himpunan
$\subseteq$ , $\subset$ , $\supseteq$ , $\supset$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
$A^C$	Komplemen
$\mathcal{P}(A)$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}

A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}

\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}

E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}

P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

A = \{ x\, |\, x \notin A\}

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

\varnothing = \{ \, \}

Relasi antar himpunan

Himpunan bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagiandari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka

\varnothing

juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

\varnothing \subseteq A

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

A \subseteq A

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

A \supseteq B \equiv B \subseteq A

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B

atau

A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwaB adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah

\mathcal{P}(A)

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka

\mathcal{P}(A)

 { { },
   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

[sembunyikan]

Bab Garis & Sudut

GARIS DAN SUDUT

Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah sinar garis yang titik pangkalnyaberimpit (bersekutu).

Bagian – bagian sudut :
1. Kaki sudut, sinar garis yang membentuk suatu sudut
2. Titik sudut, titik potong pangkal sinar dari kaki sudut
3. Daerah sudut, daerah yang terbentuk antara dua kaki sudut

Jenis – jenis Sudut

1. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90⁰.
2. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 ⁰ dan 90 ⁰ atau 0 ⁰ < D < 90 ⁰,
3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya di antara 90 ⁰ dan 180 ⁰ atau 90 ⁰ < D < 180 ⁰.
4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya 180 ⁰.
5. Sudut refleks, yaitu sudut yang besarnya antara 180 ⁰ dan 360 ⁰, atau 180 ⁰ < D < 360 ⁰.
Hubungan antar sudut
1. Sudut yang saling berpenyiku, dua sudut yang jumlah ukurannya 90 : ∠ ABD + ∠ DBC = 90

Jika dua buah sudut membentuk sudut siku-siku (90 ⁰), maka sudut yang satu merupakan penyiku sudut yang lain dan keduasudut itu dikatakan saling berpenyiku.(berkomplemen)

2. Sudut yang saling berpelurus, dua sudut yang jumlah ukurannya 180 : ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 180

Jika dua buah sudut membentuk sudut lurus, maka sudut yang satu merupakan pelurus sudut yang lain dan kedua sudut itudikatakan saling berpelurus (bersuplemen).

HUBUNGAN ANTAR SUDUT JIKA DUA GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS LAIN

1. Sudut sehadap, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 = ∠7.

2. Sudut dalam berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6
3. Sudut luar berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8
4. Sudut dalam sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠4 + ∠5 = 180, ∠3 + ∠6 = 180.
5. Sudut luar sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠2 + ∠7 = 180, ∠1 + ∠8 = 180.
6. Sudut bertolak belakang, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠5 = ∠7, ∠6 = ∠8.
MENGENAL SATUAN SUDUT

Ukuran sudut dalam derajat

1 derajat adalah besar sudut yang diputar oleh jari-jari lingkaran sejauh 1/360 putaran atau 1° = 1/360putaran

Ukuran sudut yang lebih kecil daripada derajat adalah menit (‘) dan detik (“)

Hubungan antara derajat, menit, dan detik dapat dinyatakan sebagai berikut :

1 derajat = 60 menit atau 1° = 60’

1 menit = 1/60 derajat atau 1’ = 1/60°

1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”

1 detik = 1/60 menit atau 1” = 1/60’

Ukuran sudut dalam radian

1 radian sama dengan besar sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya samadengan jari-jari

1° = p/180 radian atau 1 radian = 180°/p

Jika nilai p = 3,14159 maka hubungannya dapat juga dinyatakan :

1° = p/180 radian = 3,14159/180 = 0,017453 atau

1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

Selasa, 19 November 2013

Bab Segitiga dan Jajargenjang

BAB IV

Segitiga dan Jajargenjang

1. Keliling segitiga adalah jumlah panjang sisi-sisinya.

Keliling (K) = AB + BC + CA

2. Luas segitiga adalah setengah dari luas persegi panjang.

3. Keliling jajargenjang adalah jumlah panjang sisi-sisinya.

Keliling (K) = AB + BC + CD + DA = 2 × (BC + AB)

4. Luas jajargenjang (L) = alas × tinggi. = a x t

WELCOME

Entri Populer